ベクトルの外積の３重積の公式
《目次》電磁気学のベクトル解析
【３重積の公式の証明（その１）】
「エディントンのイプシロン」（レビチビタ記号とも呼ばれる）を使って３次元ベクトルの外積を定義し、その３次元ベクトルの外積の３重積を計算することで、３重積の公式を楽に導出して思い出せるようになります。
３次元ベクトルＡとベクトルＢの外積でベクトルＨを計算する式は、エディントンのイプシロンを使って：
εｍｐｒａｍｂｐ＝ｈｒ
（この様に書く場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）
と表して覚えた方が覚えやすいです。
また、３次元ベクトルＡとＢの内積は、クロネッカーのデルタ
δｓｔ
を使って以下のように表すことができます。
ここで、以下の、３次元ベクトルＡとＢとＣの外積の３重積を計算します。
この式の計算は、エディントンのイプシロンを使って、アインシュタインの縮約表記で以下のようにあらわすことができます。
この式で出て来た、３次元ベクトルに関する２重のエディントンのイプシロンは、以下の様に展開できます。
先ず、値が０にならない場合を先に列記します。
以上の式以外の添え字を持つテンソルγｓｔｉｊの値は全て０になります。
そのため、２重のエディントンのイプシロンを表すテンソルγｓｔｉｊは、クロネッカーのデルタδの積の差の以下の式と等価です。
この等価な公式を覚えましょう。
この公式を使うと、以下の様に計算を進めることができます。
（証明おわり）
この、３次元ベクトルの外積の３重積の展開公式は、
以上の、３次元ベクトルに関する２重のエディントンのイプシロンの、クロネッカーのデルタの積の差への変換公式を使って、速やかに導き出す様に覚えましょう。
【３重積の公式の証明（その２）】
（公式の検算）
３次元ベクトルの外積の３重積の展開公式は以下の図を書いて検算できます。
（検算おわり）
（公式の証明開始）
（１）
上の検算の結果：
ベクトルAがX方向のベクトルであり、
ベクトルBがY方向のベクトルである場合に、
ベクトルCがX方向のベクトルであってもY方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
ベクトルCがZ方向のベクトルの場合も、結果が０になるので、公式が成り立つ。
よって、
ベクトルAがX方向のベクトルであり、ベクトルBがY方向のベクトルである場合は、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（２）
ベクトルAがY方向のベクトルであり、ベクトルBがZ方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（３）
ベクトルAがZ方向のベクトルであり、ベクトルBがX方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（４）
以上の（１）から（３）の、ベクトルAとベクトルBを入れ替えた場合にも公式が成り立つ。
すなわち、（３）の場合のベクトルAとベクトルBを入れ替えた場合：
ベクトルAがX方向のベクトルであり、ベクトルBがZ方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（５）ベクトルAがX方向のベクトルであれば、
ベクトルBがX方向の場合も、結果が０になるので、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（６）
以上の（１）と（４）と（５）より、
ベクトルAがX方向のベクトルであれば、
ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、公式が成り立つ。
（７）
以上の（６）と同様にして、
ベクトルAがY方向のベクトルの場合もZ方向の場合も、
ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、公式が成り立つ。
（８）
以上の（６）と（７）により、
ベクトルAがどの方向のベクトルであっても、
そして、ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、
そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、
公式が成り立つ。
（証明（その２）おわり）
【３重積の公式の証明（その３）】
３重積の公式は以下の様に直交ベクトル系ａ，ｈ，ａvを定義して計算して求めることもできます。
先ず、３重積の公式の左辺を計算します。
次に、３重積の公式の右辺を計算します。
式９と式１０の値が一致するので、以下の式の３重積の公式が成り立つ。
（証明（その３）おわり）
【３重積の公式の証明（その１）】
「エディントンのイプシロン」（レビチビタ記号とも呼ばれる）を使って３次元ベクトルの外積を定義し、その３次元ベクトルの外積の３重積を計算することで、３重積の公式を楽に導出して思い出せるようになります。
３次元ベクトルＡとベクトルＢの外積でベクトルＨを計算する式は、エディントンのイプシロンを使って：
εｍｐｒａｍｂｐ＝ｈｒ
（この様に書く場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）
と表して覚えた方が覚えやすいです。
また、３次元ベクトルＡとＢの内積は、クロネッカーのデルタ
δｓｔ
を使って以下のように表すことができます。
ここで、以下の、３次元ベクトルＡとＢとＣの外積の３重積を計算します。
先ず、値が０にならない場合を先に列記します。
そのため、２重のエディントンのイプシロンを表すテンソルγｓｔｉｊは、クロネッカーのデルタδの積の差の以下の式と等価です。
この公式を使うと、以下の様に計算を進めることができます。
この、３次元ベクトルの外積の３重積の展開公式は、
以上の、３次元ベクトルに関する２重のエディントンのイプシロンの、クロネッカーのデルタの積の差への変換公式を使って、速やかに導き出す様に覚えましょう。
【３重積の公式の証明（その２）】
（公式の検算）
３次元ベクトルの外積の３重積の展開公式は以下の図を書いて検算できます。
（公式の証明開始）
（１）
上の検算の結果：
ベクトルAがX方向のベクトルであり、
ベクトルBがY方向のベクトルである場合に、
ベクトルCがX方向のベクトルであってもY方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
ベクトルCがZ方向のベクトルの場合も、結果が０になるので、公式が成り立つ。
よって、
ベクトルAがX方向のベクトルであり、ベクトルBがY方向のベクトルである場合は、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（２）
ベクトルAがY方向のベクトルであり、ベクトルBがZ方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（３）
ベクトルAがZ方向のベクトルであり、ベクトルBがX方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（４）
以上の（１）から（３）の、ベクトルAとベクトルBを入れ替えた場合にも公式が成り立つ。
すなわち、（３）の場合のベクトルAとベクトルBを入れ替えた場合：
ベクトルAがX方向のベクトルであり、ベクトルBがZ方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（５）ベクトルAがX方向のベクトルであれば、
ベクトルBがX方向の場合も、結果が０になるので、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（６）
以上の（１）と（４）と（５）より、
ベクトルAがX方向のベクトルであれば、
ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、公式が成り立つ。
（７）
以上の（６）と同様にして、
ベクトルAがY方向のベクトルの場合もZ方向の場合も、
ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、公式が成り立つ。
（８）
以上の（６）と（７）により、
ベクトルAがどの方向のベクトルであっても、
そして、ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、
そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、
公式が成り立つ。
（証明（その２）おわり）
【３重積の公式の証明（その３）】
３重積の公式は以下の様に直交ベクトル系ａ，ｈ，ａvを定義して計算して求めることもできます。
先ず、３重積の公式の左辺を計算します。
次に、３重積の公式の右辺を計算します。
式９と式１０の値が一致するので、以下の式の３重積の公式が成り立つ。
（証明（その３）おわり）
ベクトルの外積の三重積の公式は、ベクトルＣを、ベクトルＡとＢの張る平面に射影して、その射影したベクトルを、その平面内で９０°回転させたベクトルの表現の公式です。
【３重積の公式の証明（その４）】
その３の証明とほとんど同じ証明ですが、以下の形の計算を行って証明することができます。
（１）ベクトルＡの方向の単位ベクトルをベクトルＸとする。
（２）ベクトルＡとベクトルＢの張る平面上のベクトルで、ベクトルＡに垂直な単位ベクトルをベクトルＹとする。
（３）ベクトルＸとベクトルＹの外積をベクトルＺとする。ベクトルＺは単位ベクトルになる。
直交ベクトル系、Ｘ，Ｙ，Ｚで、ベクトルＡ，Ｂ，Ｃ、が以下の図のように表せる。
このとき、以下の式１が成り立つ。
また、以下の式２が成り立つ。
式１のベクトルと式２のベクトルが等しいので式３の関係が成り立つ。
（証明（その４）おわり）
【ベクトルの外積同士の内積の公式】
また、以下の公式も成り立ちます。
《証明（その１）開始》
（証明（その１）おわり）
その３の証明とほとんど同じ証明ですが、以下の形の計算を行って証明することができます。
（１）ベクトルＡの方向の単位ベクトルをベクトルＸとする。
（２）ベクトルＡとベクトルＢの張る平面上のベクトルで、ベクトルＡに垂直な単位ベクトルをベクトルＹとする。
（３）ベクトルＸとベクトルＹの外積をベクトルＺとする。ベクトルＺは単位ベクトルになる。
直交ベクトル系、Ｘ，Ｙ，Ｚで、ベクトルＡ，Ｂ，Ｃ、が以下の図のように表せる。
このとき、以下の式１が成り立つ。
また、以下の式２が成り立つ。
式１のベクトルと式２のベクトルが等しいので式３の関係が成り立つ。
（証明（その４）おわり）
【ベクトルの外積同士の内積の公式】
また、以下の公式も成り立ちます。
《証明（その１）開始》
上の公式は、ここをクリックした先のサイトの証明のように、段階的に証明を進めて証明することもできます。
《証明（その４）》
また、上の公式は、ベクトルｈを用いて以下の様に計算して証明することもできます。
下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの外積を単位ベクトルｈを使って表し、直交ベクトル系ｈとａとａvを定義する。
そして、公式の左辺の式を、以下の様にベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルａとベクトルａvであらわして計算する。
次に、公式の右辺の式を、ベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルＡとベクトルＢであらわして計算する。
式１１と式１２の値が等しいので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その４）おわり）
《応用例》
この公式を応用すると、以下の定理が成り立つ。
《証明（その４）》
また、上の公式は、ベクトルｈを用いて以下の様に計算して証明することもできます。
下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの外積を単位ベクトルｈを使って表し、直交ベクトル系ｈとａとａvを定義する。
そして、公式の左辺の式を、以下の様にベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルａとベクトルａvであらわして計算する。
次に、公式の右辺の式を、ベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルＡとベクトルＢであらわして計算する。
式１１と式１２の値が等しいので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その４）おわり）
《応用例》
この公式を応用すると、以下の定理が成り立つ。
