紙面の平面内の２つのベクトルの外積

３Ｄゲームのソフトウェアを作るには、以下で説明する外積が必須知識だそうです。そのために外積を使うには、公式だけ覚えれば十分みたいですが。

【課題】下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）である三角形ＢＯＡの面積を計算する。

　三角形の辺を成すベクトルを分解して、その分解したベクトルで作った複数の三角形の面積を足し算することで、三角形の面積を計算する。

上図のように、２つのベクトルの成す平行四辺形ＤＢＯＡの面積をベクトルの掛け算（×）であらわします。

このベクトルの掛け算のことをベクトルの外積と呼びます。

（注意）

　ベクトルの外積は、

「２つのベクトルどちらにも垂直な方向（この図の場合は紙面に垂直な方向）のベクトルを計算すること。そのベクトルの長さは、平行四辺形ＤＢＯＡの面積にする。」

です。

　平面（紙面）上のベクトルの外積を計算した結果は、いつでも紙面に垂直なベクトルで、その方向が変わることがありません。

　そのため、先ずは、紙面上の２つのベクトルの外積による、紙面に垂直なベクトルの大きさの計算を行ない、ベクトルの外積の計算に親しむことにします。

三角形ＢＯＡの面積Ｓはこの平行四辺形ＤＢＯＡの面積の２分の１です。

三角形ＢＯＡはベクトルＯＢとベクトルＯＡで作られる三角形です。

この三角形を作る２つのベクトルのうちの１つのベクトルＯＡを、下図のように、２つのベクトルに分解します。

すなわち、ベクトルＯＡを、ベクトルＯＭ（単位ベクトルｘのａ_１倍）とベクトルＭＡ（単位ベクトルｙのａ_２倍）に分解します。

上図のように、分解されたそれぞれのベクトルを使って２つの三角形を作ります。

１つ目の三角形は、ベクトルＯＭ（単位ベクトルｘのａ_１倍）とベクトルＯＢで作られる三角形ＢＯＭです。

２つ目の三角形は、ベクトルＭＡ（単位ベクトルｙのａ_２倍）とベクトルＭＥ（＝ベクトルＯＢ）で作られる三角形ＥＭＡです。

上図を見ると、その２つの三角形の面積の和が三角形ＢＯＡの面積になっていることがわかります。

ただし、ベクトルＯＭとベクトルＯＢで作られる三角形ＢＯＭは正の面積ですが、

ベクトルＭＡとベクトルＭＥ（＝ベクトルＯＢ）で作られる三角形ＥＭＡは負の面積を持つものとします。

この２つのベクトルで作られる三角形の面積が正であるか負であるかの区別は、三角形を作る２番目のベクトルが１番目のベクトルよりも左回りに回転した方向を向いていれば面積が正であり、右回りに回転した方向を向いていれば面積が負であるとして、区別します。

下図のように、それぞれの三角形を面積が同じ直角三角形に変形します。

三角形ＢＯＭは直角三角形ＮＯＭに変形し、

三角形ＡＭＥは直角三角形ＡＭＦ変形します。

こうして、それぞれの三角形の面積を計算します。

以上のように、元の三角形を構成するベクトルを分解することで三角形を２つに分解して、その２つの三角形の面積の和で元の三角形の面積を計算することができることが確認できました。

なお、上図では、ベクトルＯＡをベクトルＯＭとベクトルＭＡに分解しましたが、ベクトルＯＡをその他のどんなベクトルの和に分解した場合でも、それらのベクトルが作る２つの三角形の面積の和は必ず三角形ＢＯＡの面積になります。

　以上の計算は、以下の式のように単純なルールに基づいて計算できます。

（１）ベクトルｘと、（同じ）ベクトルｘが作る平行四辺形は１本の線分につぶれていますので、その面積が０です。

（平行な２つのベクトルが作る平行四辺形の面積は０です。）

（２）ベクトルの順番を入れ替えて外積を計算すると、そのべクトル同士の回転方向が逆回りになるので、面積の正と負が逆になります。

上のベクトルの外積の計算は、三角形ＢＯＡがどんな形の場合であっても計算結果が変わらず、

三角形の面積Ｓ＝（ａ_１ｂ_２－ａ_２ｂ_１）／２　（式１）

となります。

すなわち、どんな三角形の場合でも成り立つ式（ただし、面積が負になる場合もありますが）です。

そのため、どんな三角形の場合でも上の式が成り立つことが証明できました。

上の式１でクロス積の形をした部分は、行列式とも呼ばれています。

（ベクトルの内積で面積をあらわす）

　この三角形の面積Ｓは、ベクトルＡを９０度回転させたベクトルＡ_ｖを使って、以下の様にあらわすことができます。

（式１’が三角形の面積Ｓの公式）

こうして得た式１’は、先に得た式１と同じ式になりました。