アインシュタインの縮約記法
ベクトル解析の問題を解くとき、アインシュタインの縮約記法を用いると便利です。
以下の、「行列の掛け算の定理」を証明するという課題を解く例を参考にして、アインシュタインの縮約記法を説明します。
（条件１）ベクトルＤが、以下の式１と式２によりベクトルＦに変換されること。その式の係数が行列Ａを成すこと。
式１と式２の演算の係数を添え字を付けて区別して式３で表します。
この式３は、式３’とあらわすと便利です。
この表し方はアインシュタインが提案した表記方法です（アインシャタインの縮約記法）。
この式３’は、変数で表した添え字の変数名が同じ場合に、その変数名の添え字のあらゆる場合（この場合は１と２のみ）について和をとることにした式です。
（条件２）ベクトルＦが、以下の式４と式５によりベクトルＧに変換されること。その式の係数が行列Ｂを成すこと。
式４と式５の演算の係数を添え字を付けて式６で表します。
この式６は、アインシュタインの縮約記法の式６’であらわせます。
式６’に式３’を代入すると式７が得られます。
式７は、更に式８に変形できます（式８はアインシュタインの縮約記法であらわした式です）。
式８’のように、演算Ａと演算Ｂを合成した演算Ｃを考えます。
式８から、演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素の値を計算する式９が得られます。
こうして、演算ＡとＢの行列の要素を用いた式９で演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素が計算できることがわかりました。
この演算Ｃを、式１０のように、演算Ａと演算Ｂの積（掛け算）と定義します。
そして、その演算Ａと演算Ｂの掛け算である演算Ｃの行列の要素は式９’で計算できます。
これが、行列の掛け算の定理です。
すなわち、行列の掛け算の定理を、以下のようにあらわすことができます。
（条件１）ベクトルを式１～２でベクトルに変換する演算Ａの行列Ａが定義され、
（条件２）ベクトルを式４～５でベクトルに変換する演算Ｂの行列Ｂが定義されている場合に以下のことが成り立つ。
（結果）
第１のベクトルを演算Ａで変換して第２のベクトルを得、更に、第２のベクトルを演算Ｂで変換して第３のベクトルを得る場合、
その２つの演算は、第１のベクトルを第３のベクトルに変換する演算Ｃにまとめることができる。
演算Ｃの行列Ｃは、式９’で計算することで求めることができる。
その演算Ｃを、演算Ａに演算Ｂを掛け算した演算であると定義する。
演算Ｃの行列の要素を計算する式９’の計算を、行列の掛け算と定義する。
【計算の形】
なお、この掛け算の計算方式をベクトルＡとＢの内積にあてはめると、以下の形の行列の計算になる。
この計算は、横ベクトルＡと縦ベクトルＢの積であらわせる。
磁場の中を運動する平行平板に加わる力
【問】
下図のように、紙面に垂直な面の金属の平行平板があり、その両方の金属板を金属線で接続しています。そこに、紙面から紙面の手前に向く磁場（磁束密度Ｂ）を加えます。
そして、その金属の平行平板を、平板の面の方向で磁場に垂直な方向に速度ｖで運動させます。
このとき、この金属の平板は電磁場からどのような力を受けるか。
平行平板の面積はＳとし、平行平板の間隔をｄとする。
【解１】
先ず、この問題を、平行平板といっしょに運動する運動座標系の観測者から観測される状況に基づいて解きます。
その座標系で観察すると、下図のように見えます。
磁場Ｈが速度Ｖｚで運動するので、誘導電場Ｅｘが発生します。
その誘導電場Ｅｘが加わった金属の平行平板とそれをつなぐ金属線は、どこでも電位が同じになるように電荷が移動して空間から加わった誘導電場Ｅｘを打ち消す電場を発生させます。
それにより打ち消される金属板間の電圧は、Ｅｘ・ｄです。そのため、平行平板の両端には、平行平板に電圧Ｅｘ・ｄがあらわれるだけの電荷ｑ＝Ｃ・（Ｅｘ・ｄ）がたまります。
金属の平行平板には電荷ｑがたまりますので、その電荷ｑには、対向する電荷からの電場が加わります。その電場の大きさは以下のように計算できます。
電荷ｑには、誘導電場Ｅｘと、対向する電荷からの電場とが加わり、その電場の合計が、以下のように、電荷ｑに力Ｆを及ぼします。
この大きさの力Ｆが、平行平板同士を遠ざける方向に加わります。
（解答おわり）
【解２】
次に、この問題を、磁場と一緒に静止している座標系の観測者の視点で解きます。
（この解き方の方が普通の解き方であると思います）
その座標系で観察すると、下図のように見えます。
速度ｖで運動する金属線に、単位長さあたりに起電力Ｅが発生します。金属板間の距離ｄでは、Ｅ・ｄの起電力が発生します。その起電力の電圧Ｅ・ｄが金属板間に加わります。
（磁場中における金属板間の電圧は、観測者の運動座標系が異なれば異なります）
平行な金属板は容量がＣのコンデンサーを成すので、電圧Ｅ・ｄが加われば、その平行金属板に電荷ｑ＝Ｃ・（Ｅ・ｄ）がたまります。
そうして溜まった電荷は平行な金属板と一緒に速度ｖで運動しますので、磁場からローレンツ力を、平行平板同士を遠ざける方向に、受けます。
電荷ｑには、ローレンツ力と、対向する金属板上の電荷の発生する電場（Ｅ／２）からの力を受けます。
その総和の力を計算すると、以下のようになります。
この大きさの力Ｆが、平行平板同士を遠ざける方向に加わります。
（解答おわり）
電磁気学のベクトル解析の目次
大学で学ぶ電磁気学のベクトル解析の全貌については、
が詳しいで参考にして欲しいと思います。
「ベクトル解析公式の証明－準備篇」も参考になります。
「レビチビタ記号とその性質」の簡潔な説明も良いです。
「Levi-Civitaの記号でベクトル解析の初歩を1」も参考になります。
以下では、大学で学ぶ電磁気学のベクトル解析の一部の、このサイトのオリジナルな説明のみの一覧を書きます。
【目次】
上の問題の様な電磁気学の問題を体系的に解けるようにする電磁気学のベクトル解析をやさしく学ぶコツを以下で考えていきます。
アインシュタインの縮約記法
紙面の平面内の２つのベクトルの外積
エディントンのイプシロンと行列式とベクトルの外積
ベクトルの外積の３重積の公式
